ln 和 log 的核心关系就是 ln 属于 log 里面的一种特殊情况，ln 是固定底数为自然常数 e 的对数，也就是 ln 等于 log 以 e 为底的对数，普通 log 是通用对数记号，默认可以是任意底数，很多教材里面单独写 log 的时候，有的规定底数是 10，有的计算机领域默认底数是 2，这个记号差异是最容易混淆的地方。理解 ln 和 log 的关系，关键抓住底数这个要素，所有对数运算的加减幂法则，ln 和普通 log 全部通用，因为运算法则只和对数定义有关，和底数具体是多少没有本质冲突，唯一差别就是底数固定为 e 的对数简写为 ln，其他底数不能写成 ln，必须保留底数标注。ln 和 log 的关系还体现在换底公式，换底公式就是实现 ln 和普通 log 互相转换的桥梁，可以把任意底数的 log 换算成 ln 的比值，微积分里面大量题目优先使用 ln，就是因为 ln 求导积分形式最简单，换成其他底数的 log 求导会多出一个常数系数，这也是高数里面偏爱 ln 的根本原因。
底层定义
对数的原始定义，如果 b 的 y 次方等于 a，那么 y 就是以 b 为底 a 的对数，记作 log 以 b 为底 a。
当这个底数 b 取自然常数 e 的时候，这个对数就专门简写为 ln a，所以 ln a 等价 log 以 e 为底 a。
普通 log 如果没有标注底数，在中学数学一般表示常用对数，也就是底数为 10，写作 lg，很多教材会把 log 默认等于 lg，但是大学数学如果单独写 log，有时候不再默认 10，必须看教材约定，这也是 ln 和 log 的关系里面容易踩坑的记号问题。
互相转换公式
这是 ln 和 log 的关系最重要的转换工具，也就是换底公式
log 以 b 为底 a 等于 ln a 除以 ln b
反过来 ln a 等于 log 以 b 为底 a 乘以 log 以 b 为底 e
这个公式说明，任意底数的 log，都可以拆成两个 ln 相除，所以所有对数计算都可以统一转换成 ln 来完成，不需要单独记忆不同底数的求导积分公式。
性质对比
ln 和 log 的运算法则完全一致，乘法拆分加法，除法拆分减法，幂次提系数，恒等式形式也一致，只是底数不同。
ln 的底数固定 e，所以有专属恒等式 lne 等于 1，e 的 lna 次方等于 a。
普通 log 以 b 为底，对应的恒等式是 log 以 b 为底 b 等于 1，b 的 log 以 b 为底 a 次方等于 a。
对比表格
| 项目 | ln | 普通 log |
|---|---|---|
| 底数 | 固定为 e | 任意指定底数，无标注时常默认 10 |
| 记号 | ln a | log 以 b 为底 a |
| 求导公式 | lnx 导数是 x 分之一 | log 以 b 为底 x 导数是 x 乘 lnb 分之一 |
| 定义域 | 真数大于 0 | 真数大于 0 |
| 别称 | 自然对数 | 通用对数，底数 10 时叫常用对数 |
拓展要点
微积分当中，普通底数的 log 求导之后会多出 lnb 这个常数因子，所以做题经常利用 ln 和 log 的关系，通过换底把 log 转换成 ln，简化求导积分计算。另外 ln 和 log 的关系不要理解成两种完全独立的运算，ln 是 log 家族的特例，不是平行独立的两套体系，很多初学者误以为 ln 和 log 是不一样的运算规则，这个认知是错误的。
【常见问题】
问题 1 ln 和 log 的关系里面，单独写 log 是不是就等于 ln
回答 1 ln 和 log 的关系里面，单独写 log 不等于 ln，ln 是底数固定 e 的对数，单独写 log 在中学一般是底数 10 的常用对数，ln 和 log 的关系只是 ln 属于特殊底数的 log，不能直接划等号。
问题 2 利用 ln 和 log 的关系，怎么把 log 以 2 为底 x 转换成 ln 形式
回答 2 根据 ln 和 log 的关系对应的换底公式，log 以 2 为底 x 等于 lnx 除以 ln2，借助 ln 和 log 的关系，就可以把任意底数 log 转换成 ln 的除法形式，方便求导计算。
问题 3 ln 和 log 的关系中，运算法则能不能通用
回答 3 ln 和 log 的关系里，对数四则运算法则可以通用，乘积变相加 商变相减 幂次提系数，ln 和普通 log 都满足这套法则，只是底数不一样。
问题 4 为什么高数里面更喜欢用 ln，而不是普通 log，和 ln 和 log 的关系有关吗
回答 4 和 ln 和 log 的关系有关，ln 底数是 e，求导结果没有额外常数系数，普通 log 求导会多出 lnb 常数，利用 ln 和 log 的关系换底之后，计算更加简洁，所以微积分题目优先使用 ln。
【免责申明】
本文为高等数学对数基础知识点讲解，仅用于学习参考，不同教材对于 log 无底数的记号约定存在差异，请以对应教材和考试大纲要求为准，不构成应试之外的专业承诺。
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希望本篇文章《ln 和 log 的关系 自然对数与通用对数联系区别》能对你有所帮助！
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本文概览：ln 和 log 的核心关系就是 ln 属于 log 里面的一种特殊情况，ln 是固定底数为自然常数 e 的对数，也就是 ln 等于 log 以 e 为底的对数，普通 log 是通用对数记号，默认可以是任意底数，很多教材里面单独写 log 的时候，有的规定底数是 10，有的计算机领域默认底数是 2，这个记号差异是最容易混淆的地方。理解 ln 和 log 的关系，关键抓住底数这个要素，所有对数运算的加减幂法则，ln 和普通 log 全部通用，因为运算法则只和对数定义有关，和底数具体是多少没有本质冲突，唯一差别就是底数固定为 e 的对数简写为 ln，其他底数不能写成 ln，必须保留底数标注。ln 和 log 的关系还体现在换底公式，换底公式就是实现 ln 和普通 log 互相转换的桥梁，可以把任意底数的 log 换算成 ln 的比值，微积分里面大量题目优先使用 ln，就是因为 ln 求导积分形式最简单，换成其他底数的 log 求导会多出一个常数系数，这也是高数里面偏爱 ln 的根本原因。